\chapter{Représentation des images}
{\bf On considère que l'oeil humain est incapable de distinguer deux nuances de la même couleur si celles-ci sont séparées de moins de 1\% en intensité (luminance).

Un dispositif d'affichage à un taux de contraste de 1000 (valeur approximativement obtenue lors de la projection d'un film).

On décide de quantifier (discrétiser) la valeur de luminance que prend chaque pixel d'une image de façon à ce que l'écart entre deux valeurs successives de l'encodage corresponde à deux intensités lumineuses affichées séparées au maximum de 1\%.}

Dans le cours, il y a une erreur dans la définition du taux de contraste. Voici la bonne forme :
\begin{equation}
	C_d = \dfrac{I_{max}}{I_{min}}
\end{equation}
On peut aussi tenir compte de la lumière ambiante, auquel cas la formule s'écrit : 
\begin{equation}
	C_d = \dfrac{I_{max} + r}{I_{min} + r}
\end{equation}
Mais, vu qu'ici, on ne parle nulle part de lumière ambiante, ce sera la première équation qu'on utilisera
\section{Calculer le nombre d'intervalles nécessaire en considérant un encodage linéaire $I(n) = (\frac{n}{N})(I_{max} - I_{min}) + I_{min}$}
Vu que c'est une progression arithmétique (on ajoute à chaque fois $\frac{1}{N}$), il suffit de considérer les cas pour $n = 0$ et $n = 1$, il vient :
\begin{equation}
	\label{lin::imin}
	I(0) = I_{min}
\end{equation}
\begin{equation}
	I(1) = \dfrac{1}{N} \left( I_{max} - I_{min} \right) + I_{min}
\end{equation}
On veut que les nuances de couleurs soient séparées au plus de 1\%, on a donc  :
\begin{equation}
	\dfrac{I(1) - I(0)}{I(0)} \leq 0.01
\end{equation}
C'est-à dire :
\begin{equation}
	\dfrac{\dfrac{1}{N} \left( I_{max} - I_{min} \right) + I_{min} - I(0)}{I(0)} \leq 0.01
\end{equation}
Vu (\ref{lin::imin}), il vient : 
\begin{equation}
	\dfrac{\dfrac{1}{N} \left( I_{max} - I(0) \right) + I(0) - I(0)}{I(0)} \leq 0.01
\end{equation}
i.e.
\begin{equation}
	\dfrac{\dfrac{1}{N} \left( I_{max} - I(0) \right)}{I(0)} \leq 0.01
\end{equation}
ou encore 
\begin{equation}
	\dfrac{1}{N} \left( \dfrac{I_{max}}{I(0)} - 1 \right) \leq 0.01
\end{equation}
Sachant que $C_d = \dfrac{I_{max}}{I_{min}} = 1000$, on a :
\begin{equation}
	\dfrac{1}{N} \left( 999 \right) \leq 0.01
\end{equation}
et donc, dans le cas de l'égalité : 
\begin{equation}
	N = \dfrac{999}{0.01} = 99\,900
\end{equation}
Il faudra donc 99\,900 niveaux. Ceci est représentable sur 15 bits
\section{Calculer le nombre d'intervalles nécessaire en considérant un encodage exponentiel idéal $I(n) = I_{min} * 1.01^n$}
On doit résoudre l'équation suivante :
\begin{equation}
	I_{max} : 1000 * I_{min} = I_{min} * 1.01^n 
\end{equation}
i.e. 
\begin{equation}
	1.01^n = 1000 \Leftrightarrow n \log_{10} 1.01 = \log_{10} 10^3 = 3 
\end{equation}
\begin{equation}
	n\ 0.004321374 = 3  \Leftrightarrow n = 694.223642758
\end{equation}
Ce qui peut être représenté sur 10 bits.
\section{Afin de représenter l'image correctement, la définition jugée nécessaire pour la projection d'un film est de 3000 pixels en largeur et de 1500 en hauteur.  Quelle est la quantité d'information nécessaire à un film (couleur) de 2h projeté à 24 images par secondes si l'encodage exponentiel est utilisé ? }
On utilise principalement l'encodage exponentiel. Pour une image seule, on aura : 
\begin{equation}
	largeur * hauteur * 10 * 3 = 3000 * 1500 * 30 = 135\,000\,000 (bits)
\end{equation}
10 pour le nombre de bits, 3 pour trichromatique.

\paragraph{}
Il y a 24 images par seconde et 3600 secondes dans une heure.
Au final, on a donc :
\begin{equation}
	2 * 3600 * 24 * 135\,000\,000 = 23\,328\,000\,000\,000 (bits)
\end{equation}
Remettons cela en Gigabytes : il faut diviser par $2^3$ pour remettre en byte, puis $2^10$ pour Kb, puis $2^10$ pour Mb, puis $2^10$ pour Gb, ce qui nous
faire un total de $2^33$: Il vient que 23\,328\,000\,000\,000 bits = 2715.736627579 Gb
\subsection{Comparer avec la capacité d'un DVD (env 5go)}
C'est 543 fois plus qu'un dvd. Maintenant, il faut aussi bien se dire que les images dans un dvd ne sont pas encodées de façon "brute", il y a de la compression 
sur les zones homogènes notamment.