\chapter{Représentation des courbes}
{\bf On s'intéresse ici à une courbe de Bézier dont les points de contrôle sont donnés (ordonnés de gauche à droite).}
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/pts.eps}
  \end{center}
\end{figure}
\section{Quel est le degré polynomial de la courbe ?}
La courbe de Bézier est de dégré 3.

\subsection{Celui-ci peut-il être fixé indépendamment du nombre de points de contrôle ?}
Non. 
Le degré de la courbe est directement lié au nombre de points de contrôle. $$d = n -1$$

\section{Tracer les points correspondant à des paramètres de $0.4$ et $0.6$ en utilisant l'algorithme de De Casteljau (par construction graphique).}
On numérote les points donnés $P^0_0, P^0_1, P^0_2, P^0_3$ de gauche à droite.
Ensuite on applique l'ago de De Casteljau :
\begin{eqnarray}
P^1_0 &= & (1-0.6) P^0_0 + 0.6 P^0_1\\
P^1_1 &= &0.4 P^0_1 + 0.6 P^0_2\\
P^1_2 &= &0.4 P^0_2 + 0.6 P^0_3\\
\nonumber\\
P^2_0 &= &0.4 P^1_0 + 0.6 P^1_1\\
P^2_1 &= &0.4 P^1_1 + 0.6 P^1_2\\
\nonumber\\
P^3_0 &= &0.4 P^2_0 + 0.6 P^2_1
\end{eqnarray}

Et voilà ce qu'on obtient :
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=\textwidth]{images/pts2.eps}
  \end{center}
\end{figure}

\subsection{Pour $t=0.0$ et $t=1.0$ où se trouvent les points ?}

Pour $t=0$ : 
\begin{itemize}
\item $P^1_0, P^2_0, P^3_0$ se trouvent sur $P^0_0$  
\item $P^1_1, P^2_1$ se trouvent sur $P^0_1$
\item $P^1_2$ se trouve sur $P^0_2$
\end{itemize}

Pour $t=1$ : 
\begin{itemize}
\item $P^1_2, P^2_1, P^3_0$ se trouvent sur $P^0_3$ 
\item $P^1_1, P^2_0$ se trouvent sur $P^0_2$
\item $P^1_0$ se trouve sur $P^0_1$ 
\end{itemize}
\section{Que peut-on dire de la tangente à la courbe en $t=0.0$ et $t=1.0$ ?}
Dans le cas $t=0.0$, elle dépend des deux premiers points de contrôle et dans l'autre cas, des deux derniers points de contrôle. 

\section{Pour un nombre de points de contrôle fixé, quelles libertés supplémentaires offre l'utilisation de B-splines en lieu dela courbe de bézier ?}
Les courbes B-splines n'est pas une courbe polynomiale, mais polynomiale par morceaux, on peut donc fixer le degré des courbes indépendamment du nombre de points de contrôle. 
De plus, cette propriété permet d'avoir un contrôle local sur la courbe et de rester simple tout en étant précis.

\section{Quelle est la courbe B-spline de degré minimal possible, et de degré maximal possible ?}
\begin{itemize}
\item Minimum : 1
\item Maximum : fixé au degré qu'aurait une courbe de Bézier approximant les mêmes points de contrôle.
\end{itemize}
